Relaciones

Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en bases de datos, redes y lenguajes de programación.

Propiedades de las relaciones:

•  RELACIÓN REFLEXIVA:

Cumple la propiedad cuando todo elemento del conjunto. A está relacionado consigo mismo.

 Por ejemplo, sea A= {1, 2, 3, 4}

 — R= {(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3), (4,3), (4,4)}

 

•   RELACIÓN SIMÉTRICA

Cumple la propiedad cuando para cada par (a, b) R y (b, a) R. Si (a, b) está en la relación pero (b, a) no, entonces la relación no es simétrica.

 Por ejemplo, sea A= {1, 2, 3, 4}

 — R= {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4)}

 

• RELACIÓN TRANSITIVA

 Cumple la propiedad cuando para cada par (a, b) R y (b, c) R entonces existe el par (a, c) R.

Por ejemplo, sea A= {1, 2, 3, 4}

— R= {(1,1), (1,3), (2,2), (3,3), (4,3), (4,4)}

 

• Relación equivalente: Cumple con tadas las anteriores.

Ejemplo 1: para el producto cartesiano A x A dónde A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Escribir todos los pares ordenados que forman las  siguientes relaciones y dar domino y rango de cada una de ellas.

•   R1 = {(X, Y) € A x A / Y = X + 2}

            R1 = {(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)}

            D = {0, 1, 2, 3}

           RG = {2, 3, 4, 5}

 

•   R2 = {(X, Y) € A x A / Y = 3}

            R2 = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3)}

            D = {0, 1, 2, 4, 5, 3}

            RG = {3}

 

• R3 = {(X, Y) € A x A / Y = 2x}

           R3 = {(0, 0), (1, 2), (2, 4)}

           D = {0, 1, 2}

           RG = {0, 2, 4}

 

•  R4 = {(X, Y) € A x A / Y = x / 2}

            R4 = {(0, 0), (2, 1), (4, 2)}

            D = {0, 2, 4}

RG = {0, 1, 2}

 

Ejemplo 2:

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}.Indica para cada una de las siguientes relaciones de A en A (A x A), las propiedades que poseen, (reflexiva, simétrica, transitiva, equivalente).

a) {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}.

b) {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 5)}.

c) {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 5)}.

d) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.

e) {(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (4, 4), (5, 5)}.

Respuestas:

a) R1 = Simétrica

b) R2 =No es ninguna

c) R3 =Solo reflexiva

d) R4 =Simétrica y transitiva

e) R5 =Reflexiva

 

Ejemplo 3: 

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3}. Indica para cada una de las siguientes relaciones de A en A (A x A). Las propiedades que poseen (reflexiva, simétrica, transitiva, equivalente). Indicar dominio y rango.

a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)}

b) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}

c) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}

d) {(2, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}

Respuestas:

• a) R1 = No es nada

          D = {1, 2}

          RG = {1, 2, 3}

• b) R2 = No es nada

          D = {1, 2, 3}

          RG = {1, 2, 3}

• c) R3 = Simétrica

          D = {1, 2, 3, 4}

          RG = {1, 2, 3, 4}

• d) R4 = No es nada

          D = {2, 3, 4}

          RG = {1, 2}

 

Ejemplo 4:

Comprueba si la siguientes relaciones son transitivas o no.

a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)}

b) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

c) {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}

Repuestas:

a) R1 =No es transitiva

b) R2 =Si  es transitiva

c) R3 =Si es transitiva